jan-mueggenburg.de

2.2.5 Gültigkeitsbedingungen

In diesem Abschnitt soll die in 2.1 getroffene Definition eines eingeschriebenen Kreises in eine mathematische Form gebracht werden. Darüber hinaus soll auf Besonderheiten der Gültigkeit bei Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften eingegangen werden.

2.2.5.1 Allgemeine Gültigkeitsbedingungen

Laut Definition in Kapitel 2.1 liegen eingeschriebene Kreise vollständig innerhalb des Hüllbereiches (Kreis/Kreisring) und enthalten keine Punkte der Menge M im Inneren. Als Grenzfall sind Punkte auf der Peripherie des eingeschriebenen Kreises erlaubt.

Demzufolge muß für jeden ermittelten Kreis bezüglich der äußeren Bereichsgrenze gelten:

$r_m+r_{\mathrm{ek}}\le R_a$ (48)
$r_m$	...	Radialkoordinate des Kreismittelpunktes
$r_{\mathrm{ek}}$	...	Radius des Kreises

Handelt es sich bei dem betrachteten Hüllbereich um einen Kreisring, muß zusätzlich gelten:

$r_m-r_{\mathrm{ek}}\ge R_i$ (49)

Die Frage, ob innerhalb des Kreises Punkte der Menge M liegen, muß für jeden Punkt $P=\left(\begin{array}{cc}{P}_x& P_y\end{array}\right)$ aus M einzeln geklärt werden. Dazu ist der Differenzenvektor zwischen dem Ortsvektor zum Mittelpunkt des Kreises und dem Ortsvektor zum Punkt P aufzustellen.

$\mathbf{a}={\mathbf{r}}_m-\left(\begin{array}{c}{P}_x\\ P_y\end{array}\right)$ (50)

Ist die Norm dieses Vektors größer oder gleich dem Radius des Kreises,

$a=||\mathbf{a}||\ge {\mathbf{r}}_{\mathrm{ek}}$ (51)

liegt der Punkt P nicht im Inneren des Kreises.

2.2.5.2 Gültigkeitsbedingungen bei Ausnutzung von Symmetrie

Wird die Gültigkeit eines eingeschriebenen Kreises auf der Basis der reduzierten Punktmenge M vorgenommen, so ist zusätzlich zu den in 2.2.5.1 formulierten Bedingungen zu fordern, daß der Mittelpunkt des Kreises auf der gleichen Seite der Symmetrieachse liegt, wie der Punkt bzw. die Punkte, die ihn bestimmen.

Besteht die Symmetrie bezüglich der x-Achse, ist zu fordern:

$r_{\mathrm{my}}\ge 0$ (52)

sofern die Punkte der reduzierten Menge M ebenfalls im positiven Bereich der y-Achse liegen.

Analog gilt bei Symmetrie bezüglich der y-Achse (Punkte im Bereich der positiven x-Achse) die Bedingung:

$r_{\mathrm{mx}}\ge 0$ (53)

jan-mueggenburg.de