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2.2.3 Eingeschriebener Kreis zwischen 1 Punkt und der Bereichsgrenze

Die in diesem Kapitel vorgestellten Lösungen sind eigentlich nur dann von praktischer Bedeutung, wenn die Punktdichte innerhalb des Hüllbereiches sehr gering ist. Der theoretischen Vollständigkeit wegen sollen sie an dieser Stelle aber mit angegeben werden.

Das Vorgehen erfordert eine Fallunterscheidung für die beiden Hüllbereichstypen (mit und ohne Innenkreis).

2.2.3.1 Eingeschriebener Kreis zwischen 1 Punkt und einer ringförmigen Bereichsgrenze (mit Innenkreis)

Bild 6 zeigt die beiden möglichen eingeschriebenen Kreise, die sich zwischen einem Punkt im Inneren eines Kreisringes und der Ringperipherie (innen und außen) ergeben.

Bild 6: Einpunktkreis im Kreisring - geometrische Verhältnisse

Die beiden Kreise sind gleich groß. Ihr Durchmesser ist gleich der Differenz von Außen- und Innenradius, woraus sich für den Radius folgende Gleichung ergibt:

$r_m=\frac{R_a-R_i}{2}$ (40)

Der Ortsvektor zum Mittelpunkt kann allgemein durch zwei verschiedene Ausdrücke beschrieben werden:

${\mathbf{r}}_m={\mathbf{r}}_p+r_m·\left(\begin{array}{c}\cos \left({\phi }_m\right)\\ \sin \left({\phi }_m\right)\end{array}\right)=\left(r_m+r_i\right)·\left(\begin{array}{c}\cos \left(\gamma \right)\\ \sin \left(\gamma \right)\end{array}\right)$ (41)

Darin kennzeichnet ${\mathbf{r}}_p$ den Ortsvektor zum Punkt P1. Die Polarkoordinatendarstellung lautet:

${\mathbf{r}}_p=\left(\begin{array}{c}{r}_p\\ {\phi }_p\end{array}\right)$ (42)

Gleichung (41) enthält 2 Unbekannte. Nach der Eliminierung der Variablen $\gamma$ ergeben sich folgende Lösungen für die Variable ${\phi }_m$ :

${\phi }_{\mathrm{m1}}={\phi }_p+\mathrm{arcos}\left(\frac{{\left(r_m+r_i\right)}^2-{r_p}^2-{r_m}^2}{2·r_m·r_p}\right)$ (43)

${\phi }_{\mathrm{m2}}={\phi }_p-\mathrm{arcos}\left(\frac{{\left(r_m+r_i\right)}^2-{r_p}^2-{r_m}^2}{2·r_m·r_p}\right)$ (44)

Zusammenfassend kann für die Ermittlung der eingeschriebenen Kreise zwischen einem Punkt und der Bereichsgrenze (außen und innen) folgende Schrittfolge angegeben werden:

1. Berechnen des Radius der beiden eingeschriebenen Kreise nach Gl. 40.
2. Aufstellen des Ortsvektors zum Punkt P1 in Polarkoordinaten (Gl. 42)
3. Berechnen der Winkel ${\phi }_{\mathrm{m1}}$ und ${\phi }_{\mathrm{m2}}$ nach Gleichung (43), (44).
4. Aufstellen der Ortsvektoren zu den Mittelpunkten der eingeschriebenen Kreise in karthesischen Koordinaten:
   
   ${\mathbf{r}}_{\mathrm{mi}}={\mathbf{r}}_p+r_m·\left(\begin{array}{c}\cos \left({\phi }_{\mathrm{mi}}\right)\\ \sin \left({\phi }_{\mathrm{mi}}\right)\end{array}\right)$ i=1,2 (45)

2.2.3.2 Eingeschriebener Kreis zwischen 1 Punkt und der äußeren Bereichsgrenze (kein Innenkreis)

Bild 7 veranschaulicht die Möglichkeiten für einen einzelnen Punkt eingeschriebene Kreise mit der äußeren Bereichsgrenze zu bilden. Ist der Betrag des Ortsvektors zu diesem Punkt größer null, so stellt der größere der beiden Kreise hinsichtlich des Radius ein Maximum dar, daß sich auch durch die Kombination mit anderen Punkten (Zweipunkt-, Dreipunktkreise) nicht mehr überbieten läßt.

Bild 7: Einpunktkreis - geometrische Verhältnisse

Ausgehend von einer Darstellung des Ortsvektors zum Punkt P1 in Polarkoordinaten lassen sich Mittelpunktkoordinaten und Radien der eingeschriebenen Kreise recht einfach ermitteln. Dabei ist für die Lösung des Gesamtproblems allerdings nur der größere der beiden Kreise von Interesse.

Mit ${\mathbf{r}}_P=\left(\begin{array}{c}{r}_P\\ {\phi }_P\end{array}\right)$ ergibt sich für den Radius des eingeschriebenen Kreises:

$r_{\mathrm{ek2}}=\frac{R_a+r_P}{2}$

(46)

Der Mittelpunkt des Kreises (in karthesischen Koordinaten) können dann nach der folgenden Gleichung berechnet werden:

${\mathbf{r}}_{\mathrm{m2}}=\left(r_{\mathrm{ek2}}-r_P\right)·\left(\begin{array}{c}\cos \left({\phi }_P+\pi \right)\\ \sin \left({\phi }_P+\pi \right)\end{array}\right)$ (47)

Wie in den anderen Fällen, muß auch diese Lösung auf ihre Gültigkeit hin untersucht werden.

Einschränkend muß allerdings hinzugefügt werden, daß der Fall P1=(0;0) einer gesonderten Betrachtung bedarf. In diesem Fall werden die Polarkoordinaten indifferent. Während für die Radialkoordinate $r_P$ noch der Wert Null angegeben werden kann, kann die Winkelkoordinate ${\phi }_P$ jeden beliebigen Wert annehmen. Damit läßt sich die in Gleichung (47) dargelegte Formel zur Berechnung des Mittelpunktes nicht mehr anwenden.

In einer grafischen Darstellung ähnlich der in Bild 7 ergäben sich 2 gleich große Kreise deren Orientierung innerhalb des Kreises praktisch beliebig ist. Die Menge der möglichen eingeschriebenen Kreise wäre damit unendlich groß.

Entsprechend der Definition eines eingeschriebenen Kreises reduziert sich die Menge der gültigen Lösungen auf jene Kreise, die keine Punkte im inneren enthalten. Als Grenzfall werden Kreise zugelassen, bei denen weitere Punkte auf der Peripherie liegen. Diese Konstellation wird jedoch bereits durch das in 2.2.2.1 beschriebene Verfahren abgedeckt, sodaß im Allgemeinen keine weiteren Betrachtungen nötig sind. Übrig bleibt der Sonderfall (Sonderfall vom Sonderfall, Anm. d. Verf.), daß der Punkt P1=(0;0) der einzige Punkt innerhalb des Hüllbereichs ist. Für diesen Fall wird vorgeschlagen, die Winkelkoordinate des Ortsvektors Null zu setzen, ${\phi }_P=0$ .

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