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2.2.2 Eingeschriebener Kreis zwischen 2 Punkten und der Bereichsgrenze

2.2.2.1 Eingeschriebener Kreis zwischen 2 Punkten und der äußeren Bereichsgrenze

Bild 3: Zweipunktkreis - geometrische Verhältnisse

Ausgehend von den in Bild 3 dargestellten geometrischen Verhältnissen läßt sich für dieses Problem folgender Ansatz finden:

Der Radius des eingeschriebenen Kreises $r_{\mathrm{ek}}$ steht mit a und ${\lambda }_f$ in folgender Beziehung (grünes Dreieck):

${r_{\mathrm{ek}}}^2=\frac{1}{4}·a^2+{({\lambda }_f-d)}^2$ (15)

Für das rote Dreieck findet sich hingegen:

$b^2+{(c-{\lambda }_f)}^2={(R_a-r_{\mathrm{ek}})}^2$ (16)

Mit

$b^2+c^2={R_a}^2$ (17)

führt dies auf eine gewöhnliche quadratische Gleichung mit ${\lambda }_f$ als Unbekannten:

$0={{\lambda }_f}^2+\frac{m_2}{m_1}·{\lambda }_f+\frac{m_3}{m_1}$ (18)

und den Hilfsgrößen:

$m_1=4·{(c-d)}^2-4·{R_a}^2$	(19)
$m_2=4·(c-d)·(\frac{1}{4}·a^2+d^2)+8·d·{R_a}^2$	(20)
$m_3={(\frac{1}{4}·a^2+d^2)}^2-4·{R_a}^2·(\frac{1}{4}·a^2+d^2)$	(21)

Der mathematische Ansatz liefert also 2 Lösungen:

${\lambda }_{\mathrm{f1}}=-\frac{m_2}{2·m_1}+\sqrt{\frac{{m_2}^2-4·m_3·m_1}{4·m_1}}$	(22)
${\lambda }_{\mathrm{f2}}=-\frac{m_2}{2·m_1}-\sqrt{\frac{{m_2}^2-4·m_3·m_1}{4·m_1}}$	(23)

Tatsächlich gibt es zu jedem Punktpaar zwei potentielle eingeschriebene Kreise. Bild 4 veranschaulicht diesen Zusammenhang.

Bild 4: Zweipunktkreis - zwei Lösungen für ein Punktpaar

Beide Lösungen sind den praktischen Bewertungskriterien zu unterziehen. Mehr dazu in Abschnitt 2.2.5 Gültigkeitsbedingungen.

Vernachlässigt wurden bis hierhin die Zusammenhänge, die die Ermittlung der Hilfsgrößen d und c gestatten. Dazu folgende Überlegungen:

Für die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden mit der äußeren Bereichsgrenze läßt sich mit den Variablen und Richtungskonventionen aus Bild 3 folgende vektorielle Beziehung finden:

${\mathbf{r}}_1+\frac{1}{2}·\mathbf{a}+d·{\mathbf{e}}_M=R_a·\left(\begin{array}{c}\cos \left({\phi }_k\right)\\ \sin \left({\phi }_k\right)\end{array}\right)$ (24)

Sie enthält 2 skalare Gleichungen für die beiden unbekannten Größen $d$ und ${\phi }_k$ .

Mit

$\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\end{array}\right)={\mathbf{r}}_1+\frac{1}{2}\mathbf{a}$ (25)

ergeben sich nach der Eliminierung von ${\phi }_k$ folgende Lösungen:

$d_1=-\left(b_x·\cos \left({\phi }_M\right)+b_x·\cos \left({\phi }_M\right)\right)+\sqrt{{R_a}^2-{b_x}^2-{b_y}^2+{\left(b_x·\cos \left({\phi }_M\right)+b_x·\cos \left({\phi }_M\right)\right)}^2}$ (26)

$d_2=-\left(b_x·\cos \left({\phi }_M\right)+b_x·\cos \left({\phi }_M\right)\right)-\sqrt{{R_a}^2-{b_x}^2-{b_y}^2+{\left(b_x·\cos \left({\phi }_M\right)+b_x·\cos \left({\phi }_M\right)\right)}^2}$ (27)

Die Lösungen $d_1$ und $d_2$ kennzeichnen den Abstand des Aufpunktes $\mathbf{b}$ von der Kreisperipherie in Richtung des Einheitsvektors ${\mathbf{e}}_M$. Sie sind also vorzeichenbehaftet ( $d_1>0$ , $d_2<0$ ). Somit läßt sich die halbe Sekantenlänge (Hilfswert c) wie folgt berechnen:

$c=\frac{1}{2}·\left(d_1-d_2\right)$ (28)

Zusammenfassend kann für die Ermittlung der eingeschriebenen Kreise zwischen 2 Punkten und der äußeren Hüllbereichsperipherie folgende Vorgehensweise angegeben werden:

1. Aufstellen der Ortsvektoren für die Punkte P1 und P2
   
   ${\mathbf{r}}_1=\left(\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{1x}}\\ r_{\mathrm{1y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{P1}}_x\\ {\mathrm{P1}}_y\end{array}\right)$ ; ${\mathbf{r}}_2=\left(\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{2x}}\\ r_{\mathrm{2y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{P2}}_x\\ {\mathrm{P2}}_y\end{array}\right)$ (29-30)
   
   
2. Punktordnung prüfen
   
   Um den Richtungskonventionen in Bild 3 zu genügen, ist sicherzustellen, daß der Ortsvektor (in Polarkoordinaten) zum Punkt P1 eine größere Winkelkoordinate hat, als der Ortvektor zum Punkt P2. Anderenfalls sind die Indizes der Ortsvektoren zu vertauschen.
   
   
3. Differenzenvektor aufstellen
   
   $\mathbf{a}={\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$ (31)
   
   
4. Polarkoordinaten des Differenzenvektors
   
   $\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}a\\ \phi \end{array}\right)$ (32)
   
   
5. Normaleneinheitsvektor zum Differenzenvektor
   
   ${\mathbf{e}}_M=\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{Mx}}\\ e_{\mathrm{My}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \left(\phi +\frac{\pi }{2}\right)\\ \sin \left(\phi +\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right)$ (33)
   
   
6. Ermitteln der Hilfsgröße d
   
   Der weitere Berechnungsgang erfordert die Ermittlung der Werte $d_1$ und $d_2$ nach den Gleichungen (26) und (27).
   
   
7. Ermitteln der Hilfsgröße c
   
   Die Hilfsgröße c wird mit den Lösungen aus Gleichung (26) und (27) nach Gleichung (28) ermittelt.
   
   
8. ${\lambda }_{\mathrm{f}}$ Ermitteln
   
   Es sind die Lösungen nach Gleichung (22) und (23) zu berechnen. Für die Berechnung der Hilfsgrößen $m_1$ , $m_2$ und $m_3$ nach Gleichung (19)-(21) muß entsprechend den Richtungskonventionen in Bild 3 die Lösung $d_1$ aus Gleichung (26) eingesetzt werden.
   
   
9. Ortsvektoren zu den Mittelpunkten und Radien der eingeschriebenen Kreise
   
   

   Die Ortsvektoren zu den Mittelpunkten der beiden eingeschrieben Kreise können wie folgt berechnet werden:

   ${\mathbf{r}}_{\mathrm{mi}}={\mathbf{r}}_1+\frac{1}{2}·\mathbf{a}-\left({\lambda }_{\mathrm{fi}}-d\right)·{\mathbf{e}}_M$

   $i=\mathrm{1,2}$

   (34)

   Man vergleiche hierzu noch einmal Bild 3.

   Und schließlich kann für die Radien noch folgende Beziehung angegeben werden:

   $r_{\mathrm{eki}}=\sqrt{\frac{1}{4}·a^2+{\left({\lambda }_{\mathrm{fi}}-d\right)}^2}$

   $i=\mathrm{1,2}$

   (35)

2.2.2.2 Eingeschriebener Kreis zwischen 2 Punkten und der inneren Bereichsgrenze

Bild 5: Zweipunktkreis am Innenrand - geometrische Verhältnisse

Analog zu dem Problem des eingeschriebenen Kreises, der die äußere Bereichsgrenze tangiert, lassen sich für die innere Bereichsgrenze ganz ähnliche Ansätze finden. Man vergleiche hierzu auch Bild 5.

Für den Radius des eingeschriebenen Kreises $r_{\mathrm{ek}}$ sowie für die Werte a und ${\lambda }_f$ gilt auch hier die in Gl. (15) angegebene Beziehung (grünes Dreieck). Für das rote Dreieck gilt in diesem Fall allerdings anstelle von Gl. (16):

$b^2+{(c-{\lambda }_f)}^2={(R_i+r_{\mathrm{ek}})}^2$ (36)

Dieser Ansatz führt wiederum auf eine gewöhnliche quadratische Gleichung für ${\lambda }_f$ in der gleichen Form, wie sie in Gl. (18) angegeben wurde.

Für die drei Hilfsgrößen ergibt sich:

$m_1=4·{(c-d)}^2-4·{R_i}^2$	(37)
$m_2=(c-d)·(\frac{1}{4}·a^2+d^2)+8·d·{R_i}^2$	(38)
$m_3={(\frac{1}{4}·a^2+d^2)}^2-4·{R_i}^2·(\frac{1}{4}·a^2+d^2)$	(39)

Unter Beachtung dieser Modifikationen läßt sich das unter 2.2.2.1 angegebene Verfahren (Schrittfolge) auch auf den Fall des eingeschriebenen Kreises zwischen 2 Punkten und der inneren Bereichsgrenze anwenden.

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