jan-mueggenburg.de

2.2.1 Eingeschriebener Kreis zwischen 3 Punkten innerhalb des Hüllbereiches

Aus der Schulmathematik ist bekannt, daß sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt schneiden und dieser Punkt gleichzeitig der Mittelpunkt des umschreibenden Kreises dieses Dreiecks ist (Bild 2).

Bild 2: Dreipunktkreis - umschreibender Kreis für ein Dreieck

Für drei gegebene Punkte P1, P2, P3 läßt sich folgendes Verfahren zur Ermittlung des umschreibenden Kreises anwenden:

1. Ortsvektoren aufstellen
   
   

   ${\mathbf{r}}_1=\left(\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{1x}}\\ r_{\mathrm{1y}}\end{array}\right)$ ; ${\mathbf{r}}_2=\left(\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{2x}}\\ r_{\mathrm{2y}}\end{array}\right)$ ; ${\mathbf{r}}_3=\left(\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{3x}}\\ r_{\mathrm{3y}}\end{array}\right)$ (1-3)
   
   

2. Aufstellen der Differenzenvektoren
   
   

   ${\mathbf{a}}_{\mathrm{v1}}={\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$ ; ${\mathbf{a}}_{\mathrm{v2}}={\mathbf{r}}_3-{\mathbf{r}}_2$ (4-5)
   
   

3. Polarkoordinaten der Differenzenvektoren
   
   

   Auf der Basis der karthesischen Koordinaten der Differenzenvektoren werden die Polarkoordinaten a und φ berechnet:

   ${\mathbf{a}}_{\mathrm{vi}}=\left(\begin{array}{c}{a}_i\\ {\phi }_i\end{array}\right)$ $i=\mathrm{1,2}$ (6)
   
   

4. Aufstellen der Normaleneinheitsvektoren
   
   

   Zu den Differenzenvektoren werden Normaleneinheitsvektoren folgender Form aufgestellt:

   ${\mathbf{e}}_{\mathrm{ai}}=\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{aix}}\\ e_{\mathrm{aiy}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \left({\phi }_i+\frac{\pi }{2}\right)\\ \sin \left({\phi }_i+\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right)$ $i=\mathrm{1,2}$ (7)
   
   

5. Ermittlung des Schnittpunktes zur Seitenhalbierenden
   
   

   Gesucht ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks (P1,P2,P3). Für die Seitenhalbierenden wird eine bei Geraden übliche Parameterdarstellung zugrunde gelegt. Diese Darstellung ist gekennzeichnet durch Aufpunkt, Richtungsvektor (idealerweise Einheitsvektor) und einen freien Parameter λ. Den Aufpunkt sollen im vorliegenden Fall die Mittelpunkte der Differenzenvektoren aus Gl. (4)/(5) bilden:

   ${\mathbf{b}}_i=\left(\begin{array}{c}{b}_{\mathrm{ix}}\\ b_{\mathrm{iy}}\end{array}\right)={\mathbf{r}}_i+\frac{1}{2}·{\mathbf{a}}_{\mathrm{vi}}$ $i=\mathrm{1,2}$ (8)
   
   

   Als Normaleneinheitsvektoren werden die unter Punkt 4 ermittelten Vektoren verwendet. Als Parameterdarstellung der beiden Seitenhalbierenden ergibt sich somit:

   ${\mathbf{s}}_i={\mathbf{b}}_i+{\lambda }_i·{\mathbf{e}}_{\mathrm{ai}}$ $i=\mathrm{1,2}$ (9)
   
   

   Im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, der mit dem Mittelpunkt ${\mathbf{r}}_m$ des umschreibenden Kreises identisch ist, ergeben die in Gl. (9) enthaltenen Parameterdarstellungen den gleichen Vektor.
   
   ${\mathbf{b}}_1+{\lambda }_{\mathrm{1m}}·{\mathbf{e}}_{\mathrm{a1}}={\mathbf{b}}_2+{\lambda }_{\mathrm{2m}}·{\mathbf{e}}_{\mathrm{a2}}$ (10)
   
   Daraus folgen 2 Gleichungen für die bis hierhin unbekannten Werte ${\lambda }_{\mathrm{1m}}$ und ${\lambda }_{\mathrm{2m}}$. Im vorliegenden Fall genügt die Auflösung nach einer der beiden skalaren Größen, hier ${\lambda }_{\mathrm{1m}}$, für die folgende Formel angeben werden kann:

   ${\lambda }_{\mathrm{1m}}=\frac{(b_{\mathrm{2x}}-b_{\mathrm{1x}})·e_{\mathrm{a2y}}+(b_{\mathrm{1y}}-b_{\mathrm{2y}})·e_{\mathrm{a2x}}}{e_{\mathrm{a1x}}·e_{\mathrm{a2y}}-e_{\mathrm{a1y}}·e_{\mathrm{a2x}}}$ (11)
   
   

   Hinweis: ${\lambda }_{\mathrm{1m}}$ kennzeichnet den Abstand des Aufpunktes ${\mathbf{b}}_1$ in Richtung des Normaleneinheitsvektors ${\mathbf{e}}_{\mathrm{a1}}$.

6. Mittelpunktkoordinaten und Radius des umschreibenden Kreises
   
   

   Der Ortvektor zum Mittelpunkt des umschreibenden Kreises und sein Radius können mit den vorangestellten Überlegungen wie folgt angegeben werden, Gl. (12)/(13):

   ${\mathbf{r}}_m={\mathbf{b}}_1+{\lambda }_{\mathrm{1m}}·{\mathbf{e}}_{\mathrm{a1}}$ (12)
   
   

   $r_{\mathrm{ek}}=\sqrt{{(\frac{1}{2}·a_1)}^2+{{\lambda }_{\mathrm{1m}}}^2}$ (13)
   
   

   Hinweis: In Gl. (13) steht $a_1$ für die Norm (Betrag oder Länge) des Vektors ${\mathbf{a}}_1$:

   $a_1=||{\mathbf{a}}_1||$ (14)
   
   

Erfüllt der umschreibende Kreis die Gültigkeitsbedingungen, so gehört er zur Menge der eingeschriebenen Kreise, die für das Gesamtproblem von Interesse sind.

jan-mueggenburg.de